Het gelijk van Inshared

Toch nog even terugkomen op Inshared’s Halve Allrisk, waar we een dikke week geleden over berichtten. Grote onzin, berichtte ondergetekende, iemand die risicoavers is en bereid is voor een halve dekking te betalen, zal zeker ook bereid zijn voor een hele dekking het dubbele bedrag op te hoesten. Trouwe en oplettende lezer Allard schrijft echter het volgende:

Je post aangaande de halve allrisk vond ik raar. […] Zij u(.) (u’>0,u”<0) de nutsfunctie van een homo economicus. Zij x het vermogen (zonder schade) van voornoemde h.e. en stel dat d de schade is. De kans op schade is p. Dan is onze h.e. bereid om kheel=p(u(w)-u(w-d)) te betalen voor de hele allrisk en khalf=p(u(w-d/2)-u(w-d)) voor de halve allrisk. Omdat u concaaf is, geldt dat u(w-d/2)-u(w-d)>u(w)-u(w-d/2) en dus dat kheel<2*khalf.

Allard heeft helemaal gelijk. Voor het gemak een getallenvoorbeeldje. Stel iemand heeft een vermogen van 100 en de mogelijke schade die hij oploopt bedraagt 20. Mijn redenering was als volgt: als zo iemand bereid is een verzekering af te sluiten tegen het risico dat zijn vermogen naar 90 valt, dan zal die persoon zeker ook bereid zijn een verzekering te nemen tegen een dubbele premie die het risico dekt dat zijn vermogen naar 80 valt. Het verschil in nut tussen 80 en 100 is immers meer dan twee keer zo groot als het verschil in nut tussen 90 en 100.

Op zich was die waarneming juist. Probleem is alleen dat dat niet de manier is waarop de halve allrisk werkt. Wie een halve allrisk afsluit dekt zich effectief immers in tegen het risico dat zijn vermogen naar 80 daalt in plaats van naar 90. Wie bereid is daarvoor te betalen is niet automatisch bereid om ook het dubbele te betalen om zich in te dekken tegen het risico dat zijn vermogen naar 80 daalt in plaats van op 100 blijft. Immers: het verschil in nut tussen 80 en 100 is minder dan twee keer zo groot als het verschil in nut tussen 80 en 90.

Goh. Wat een goed idee, zo’n halve allrisk.

Halve allrisk!?

Deze week zag ik de nieuwe commercial van Inshared (al vaker onderwerp van deze weblog). De innovatieve verzekeraar heeft weer iets nieuws bedacht: het is nu ook mogelijk een ‘halve allrisk’ af te sluiten:

Halve allrisk is een autoverzekering waarbij u toch nog de helft van de schade aan uw eigen auto vergoed krijgt, ook al is het uw schuld of is de tegenpartij onbekend. […] Uit onze ervaring blijkt namelijk dat mensen het na een paar jaar zonde vinden om hun auto nog allrisk te verzekeren, maar dat de auto tegelijkertijd nog te nieuw en te goed is om schades niet meer te laten repareren.

Wie door de premieberekeningsmodule heen gaat, leert dat de premie voor de halve allrisk ook keurig de helft is van de premie van de volledige allrisk. Maar, vraag ik mij dan af, waarom zou iemand dan in vredesnaam voor die halve allrisk kiezen!?

Stel u bent bang voor een schade. Om het risico te dekken moet u een bepaalde premie betalen. Uiteraard zal de premie hoger zijn dan de verwachte schade (de verzekeraar moet er immers ook aan verdienen), maar als u voldoende risico-avers bent is het voor u de moeite waard om die verzekering af te sluiten. Tot nu toe nog niks aan de hand.

Maar nu komt het: iemand die voldoende risico-avers is om die halve allrisk af te sluiten zal zeker ook bereid zijn een dubbel zo grote premie te betalen om een dubbel zo grote schade te voorkomen. Immers: de dubbele schade is voor een risicoaverse automobilist meer dan twee keer zo beangstigend en dus zal die persoon altijd bereid zijn de dubbele premie te betalen. Geen enkel weldenkend mens (in de zin van de klassieke homo economicus) zal dus voor de halve allrisk gaan. Toch!?