Bij de recente Armando-brand in Amersfoort waren veel omstanders maar niemand belde 112, zo meldt de Volkskrant:
“Mensen staan met hun telefoon de brand te filmen, maar vergeten de hulpdiensten te bellen”, zegt burgemeester Albertine van Vliet -Kuiper. “Ze denken: iemand anders zal 112 al wel gebeld hebben.”
De burgemeester slaat de spijker op z’n kop. In de psychologie noemen ze dat het bystander effect: hoe meer mensen er om een vijver met een drenkeling staan, des te groter de kans dat niemand zal ingrijpen. Speltheoretisch is dat prima te verklaren, zie bijvoorbeeld dit artikel [pdf]. Trouwe lezer Pim kijkt naar variaties op het thema [pdf]. Zelf heb ik al eens iets soortgelijks gedaan in de context van verkiezingen. En trouwe lezer Linda in de context van overnames.
In dit specifieke geval is de analyse als volgt (na de klik).
Stel het redden van de kerk voor iedereen B waard is. De kosten (in termen van geld en moeite) van het plaatsen van een telefoontje zijn c<B. Er zijn n omstanders. We zoeken naar een symmetrisch evenwicht in gemengde strategieën, waarin de kans dat een willekeurig persoon 112 belt gelijk is aan p. Bij een gemengde strategie moet iedere speler indifferent zijn tussen bellen en niet bellen. Bellen levert met zekerheid B-c op: de opbrengst van het redden van de kerk minus de kosten van het telefoontje. Als iemand niet belt, dan wordt de kerk alleen gered als minstens een van de n-1 andere omstanders belt. Als dat gebeurt levert dat B op en de kans dat dat gebeurt is 1-(1-p)^n-1, waarbij ik ^ gebruik voor machtsverheffen. De verwachte opbrengst van niet bellen is dus B(1-(1-p)^n-1). Deze uitdrukking gelijk stellen aan B-c levert p = 1 – (c/B)^(1/(n-1)). In het evenwicht zal iedereen met deze kans bellen. De kans dat er niet gebeld wordt is dan (1-p)^n = (c/B)^(n/(n-1)). Omdat c/B kleiner is dan 1, en n/(n-1) daalt in n, betekent dat dat de kans dat er niet gebeld wordt, stijgt in het aantal omstanders.
Mooi model maar wat is een realistische kalibratie? Zelfs als n=139.065 (het aantal inwoners van Amersfoort) kom je voor de kans dat er niet gebeld wordt niet hoger dan de limietwaarde van c/B. Voor zover ik weet is 112 bellen gratis, maar vooruit, het kost wel enige inspanning. Maar meer dan een Euro?
Er is niet gebeld; de kans daarop moet dus redelijk zijn, laten we zeggen 5%. Daarvoor is een B van 20 Euro nodig.
Nou is er voor veel meer in de hens gegaan maar ik denk eerlijk gezegd dat 20 Euro een redelijke waardering is voor een gemiddeld persoon (we kunnen het proberen: “wat heeft u liever, 20 Euro of we breken dit museum niet af?” Dat kost je een hoop twintigjes).
Maar. De B is niet voor iedereen hetzelfde en ik denk dat er minstens één kunstliefhebber onder de toeschouwers moet zijn geweest. Hebben die dan geen telefoon?
Er is ook een asymmetrisch evenwicht waarin iemand belt en de rest niet. Als de kosten en baten hetzelfde zijn bij alle omstanders, dan heb je een coordinatieprobleem. Dit is dan een reden om te gaan kijken naar het symmetrische evenwicht. Maar als iedereen weet wie de grootste kunstliefhebber in Amersfoort is (d.w.z. de persoon met de hoogste B/c-ratio), dan is het meest voor de hand liggende evenwicht het evenwicht waarin deze persoon 112 belt. Als we tijd en verschillen in kosten en baten laten meespelen, dan laten Bilodeau en Slivinsky in een artikel in de Journal of Public Economics in 1996 (met de briljante titel Toilet cleaning and department chairing) zien dat er een uniek evenwicht is waarin de persoon met de hoogste B/c-ratio meteen 112 belt.
Bovendien: ik denk dat Thijs de baten overschat. Hoeveel zal de gemiddelde Amersfoortenaar bereid zijn te betalen voor de situatie waarin die brand niet zou hebben gewoed? Volgens mij is dat lang geen 20 euro. Sterker nog, een heleboel mensen zullen dat zelfs wel aardig vinden, zo’n fik en alle sensatie (en foto’s) die dat oplevert. En als mijn model niet klopt, hoe verklaar je dan dat het zo lang duurde voordat er iemand belde? (Hoewel er overigens ook berichten zijn dat er wel degelijk eerder is gebeld.)